Navierovy–Stokesovy rovnice představují soustavu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic popisující proudění vazké nestlačitelné newtonovské tekutiny. Matematická analýza Navierových-Stokesových rovnic s různými typy okrajových podmínek na různých částech (nehladké) hranice představuje poměrně novou oblast teorie parciálních diferenciálních rovnic, která velmi přirozeně koresponduje s technickými aplikacemi. Protože tento model neumožňuje použít důkazovou techniku, která se používá v teorii Navierových-Stokesových rovnic s okrajovými podmínkami Dirichletova typu (nejsme schopni kontrolovat tok kinetické energie hranicí a dokázat stejnoměrný odhad řešení v závislosti na datech úlohy), práce v této oblasti vyžaduje vyvinutí nové důkazové techniky.
Disertační práce bude zaměřena na analýzu matematických modelů, které popisují chování vazkých nestlačitelných tekutin v omezených oblastech (kanálech, potrubních systémech). Pro úlohy, kdy na hranici oblasti předepisujeme nulové podmínky Dirichletova typu pro složky rychlosti, je známa existence slabého řešení, splňujícího současně energetickou nerovnost. Otevřeným problémem zůstává, zda je toto řešení pro daná data úlohy jednoznačně určeno a zda pro vhodná data úlohy existuje regulární řešení. V současné době velmi populární a hojně studovaný model proudění koresponduje s úlohou, kdy na části hranice, která představuje pevnou stěnu kanálu, předepisujeme nulové Dirichletovy podmínky pro složky rychlosti, a na části hranice, která představuje výstup z kanálu, předepisujeme tzv. přirozenou podmínku, která obsahuje tlak a derivaci vektoru rychlosti podle normálového vektoru v odpovídajícím bodě hranice. Avšak, pro tuto úlohu nejsme schopni kontrolovat tok kinetické energie hranicí a nejsme zde schopni dokázat existenci řešení (stacionární i nestacionární) úlohy důkazovou technikou, která je použita pro úlohy s Dirichletovými podmínkami na celé hranici. Existence řešení (stacionární i nestacionární) úlohy pro libovolná data je proto stále otevřeným problémem.
Cílem disertační práce je odvodit původní výsledky o kvalitativních vlastnostech nestlačitelného proudění s ohledem na různé okrajové podmínky předepsané na nehladké hranici omezené oblasti. Uvažovaný model tekutiny je popsán soustavou Navierových-Stokesových rovnic odvozených z principu zachování hybnosti, zachování točivého momentu, rovnice zachování energie a rovnice zachování hmoty. Uvažované okrajové podmínky jsou obecně několika typů: no-slip (Dirichletova) nebo Navierova podmínka na pevných površích, okrajové podmínky Neumanova typu, podmínky prostorové periodicity a takzvané umělé okrajové podmínky odvislé od konkrétních fyzikálních situací. Předpokládanými výsledky disertační práce budou 1. Analýza stacionárního problému s různými, smíšenými okrajovými podmínkami. 2. Existence a jednoznačnost hladkého řešení v okolí existujícího hladkého řešení. 3. Existence slabého řešení globálně a lokální existence v čase, jedinečnost hladkého řešení pro velká data.
